Замена тяжелых CFD-расчетов суррогатными моделями Гауссовских процессов

Вот профессиональный, развернутый перевод и адаптация данной научной статьи на русский язык. Все технические термины, числа, формулы и имена сохранены в исходном виде, структура статьи выдержана в соответствии с ГОСТ и академическими стандартами русскоязычных публикаций.

---

Физически-обоснованная регрессия в сравнении с CFD для течений Гагена–Пуазейля и Уомерсли, а также количественная оценка неопределенности

Х. Ли, М. Ислам, Х. Ю, С. Ду* *Университет Индианы–Университет Пердью в Индианаполисе, США *Автор для корреспонденции: duxi@iu.edu

11-я Международная конференция по вычислительной динамике жидкости (ICCFD11) Мауи, Гавайи, США, 11–15 июля 2022 года ICCFD11-3301

---

Аннотация

Вычислительная гидродинамика (CFD) и сопутствующая количественная оценка неопределенности требуют значительных вычислительных ресурсов. В настоящем исследовании с использованием методов на основе Гауссовских процессов (GP) демонстрируется, что машинное обучение позволяет создавать эффективные и точные суррогатные модели, способные заменить CFD-симуляции при существенном снижении вычислительных затрат без потери физической точности. Также показано, что при использовании модели машинного обучения для описания гидродинамики возможно количественно оценивать как эпистемическую (модельную), так и алеаторную (случайную, связанную со входными параметрами) неопределенность. Демонстрация выполнена на примере моделирования течений Гагена–Пуазейля и Уомерсли, описывающих соответственно пространственный (стационарный) и пространственно-временной тип отклика. Обучающие точки генерировались с помощью аналитических решений с равномерной дискретизацией пространственных или пространственно-временных переменных. Суррогатные модели GP строились на основе регрессии с учителем. Погрешность GP-модели количественно оценивалась через эпистемическую неопределенность. Полученные результаты сравнивались с данными GPU-ускоренных объемных решеточных моделей Больцмана. Результаты показывают, что суррогатные модели способны точно воспроизводить гидродинамику (без проведения прямых CFD-расчетов) при наличии одновременно эпистемической и алеаторной неопределенности, обеспечивая при этом количественную оценку погрешности.

Ключевые слова: Машинное обучение с учителем, вычислительная гидродинамика, объемный метод решеточных уравнений Больцмана, суррогатная модель, количественная оценка неопределенности.

---

1. Введение

Вычислительная гидродинамика (CFD) играет ключевую роль при решении широкого спектра задач, связанных с реальными течениями. Однако высокая вычислительная стоимость часто требует поиска компромисса между точностью и эффективностью. Для преодоления этого ограничения широко применяются суррогатные модели [1, 2], которые заменяют дорогостоящие CFD-расчеты в инженерном анализе и проектировании. В последнее время для создания CFD-суррогатов все чаще используется регрессия на основе методов машинного обучения [3]. Такие модели позволяют добиться как высокой скорости вычислений, так и хорошей точности. Благодаря высокой эффективности суррогатных моделей, CFD-симуляция может быть выполнена за секунды или минуты, что открывает возможности для быстрого сценарного анализа, оценки большего числа вариантов проектирования, расширения пространства поиска, более надежного принятия решений и ускоренной оптимизации.

Несмотря на дешевизну, суррогатные модели содержат погрешности, связанные с самой моделью. Кроме того, входные параметры модели могут характеризоваться неопределенностью [4-7], обусловленной, например, случайными геометрическими параметрами, нагрузками, свойствами материалов или неточностями изготовления. Таким образом, возникает необходимость количественной оценки влияния этих неопределенностей на прогноз модели. В данном исследовании, помимо демонстрации того, что физически-обоснованная регрессия позволяет создавать эффективные и точные суррогатные модели (значительно сокращающие время вычислений без потери точности CFD), мы также показываем, что неопределенности как в структуре суррогатной модели, так и во входных данных могут быть количественно оценены, что позволяет оценить их влияние на прогнозируемые результаты CFD-симуляции.

---

2. Постановка задачи

В рамках данного исследования были разработаны две суррогатные модели: одна для стационарного течения Гагена–Пуазейля, другая — для нестационарного течения Уомерсли. Оба течения представляют собой ньютоновские несжимаемые потоки в трубе (Рис. 1(a)) и имеют аналитические решения. Наличие аналитических решений позволяет наглядно продемонстрировать эффективность суррогатных моделей и методологию количественной оценки неопределенности. Расчетная область представляет собой длинную идеальную трубу радиусом ( R ) и длиной ( L ). Течение создается градиентом давления вида ( \nabla P = \nabla P_s + \nabla P_o \cos(\omega t) ), где ( \nabla P_s ) и ( \nabla P_o ) — стационарный градиент давления и амплитуда осциллирующего градиента давления соответственно; ( \omega ) — угловая частота колебаний, как показано на Рис. 1(b).

(Рис. 1 (a) Изометрический вид трубы, (b) Форма волны пространственно-временного градиента давления)

2.1 Течение Гагена–Пуазейля

Течение Гагена–Пуазейля — это стационарный поток, возникающий под действием постоянного градиента давления (( \nabla P_s )). Аналитическое решение имеет вид:

[ u(r) = \frac{\nabla P_s R^2}{4\mu} \left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) \quad (1) ]

где ( \mu ) — динамическая вязкость, ( r ) — радиальное расстояние от центра поперечного сечения. Если обозначить максимальную скорость как ( u_{max} = \frac{\nabla P_s R^2}{4\mu} ), то нормированное решение примет вид:

[ u'(r') = 1 - r'^2 \quad (2) ]

где нормированная скорость ( u' = u / u_{max} ), а нормированное расстояние до центра сечения ( r' = r / R ).

2.2 Течение Уомерсли

Течение Уомерсли создается осциллирующим градиентом давления ( \nabla P = \nabla P_s + \nabla P_o e^{i\omega t} ). Аналитическое решение дается выражением:

[ u(r, t) = \frac{\nabla P_s R^2}{4\mu} \left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) + \text{Re} \left{ \frac{\nabla P_o R^2}{i\mu \alpha^2} \left[1 - \frac{J_0\left( \alpha \frac{r}{R} i^{3/2} \right)}{J_0\left( \alpha i^{3/2} \right)} \right] e^{i\omega t} \right} \quad (3) ]

Следует отметить, что уравнение (3) переходит в решение для течения Гагена–Пуазейля (уравнение (2)) при отсутствии осциллирующей составляющей градиента давления (т.е. при ( \nabla P_o = 0 )).

Скорость ( u(r, t) ) может быть нормирована как:

[ u'(r', t') = (1 - r'^2) + \text{Re} \left{ \frac{4}{i\alpha^2} \frac{P_o}{P_s} \left[1 - \frac{J_0\left( \alpha r' i^{3/2} \right)}{J_0\left( \alpha i^{3/2} \right)} \right] e^{i t'} \right} \quad (4) ]

где нормированная угловая частота ( t' = \omega t ), ( P_o/P_s = \nabla P_o / \nabla P_s ); ( \alpha = R\sqrt{\omega / \nu} ) и ( J_0 ) — число Уомерсли и функция Бесселя первого рода нулевого порядка соответственно.

2.3 Методология

Суррогатные модели для течения Гагена–Пуазейля и течения Уомерсли были построены с помощью регрессии. Полученные модели сравнивались с численными решениями CFD. CFD-расчеты выполнялись с использованием объемного метода решеточных уравнений Больцмана [8] на разработанном авторами GPU-ускоренном коде [9]. Градиент давления задавался в виде объемной силы; на стенках задавалось условие прилипания, а на входе и выходе — периодические граничные условия. Регрессия и CFD использовали одинаковые параметры. Физические величины, используемые в исследовании, приведены в Таблице 1.

Таблица 1. Физические величины для течений Гагена–Пуазейля и Уомерсли

Переменная	Значение
Угловая частота (\omega)	7.85 рад/с
Кинематическая вязкость (\nu)	3.415 × 10⁻⁶ м²/с
Плотность (\rho)	1025 кг/м³
Стационарный градиент давления (\nabla P_s)	280.00 Па/м
Амплитуда осциллирующего градиента давления (\nabla P_o)	488.3525 Па/м

Суррогатные модели создавались с помощью регрессии на основе Гауссовских процессов (GP). Для нестационарного течения Уомерсли время также включалось в качестве одного из измерений входных обучающих точек. Погрешность прогноза оценивалась через модельную неопределенность, представленную стандартным отклонением прогноза. Также существует возможность оценки погрешности прогноза для суррогатных моделей, построенных с помощью регрессии на нейронных сетях [10].

---

3. Регрессия на основе Гауссовских процессов (GP)

Существует множество методов регрессии в машинном обучении, таких как регрессия с помощью нейронных сетей [11] и GP-регрессия [12]. В данном исследовании мы используем GP, поскольку этот метод позволяет легко количественно оценить эпистемическую (модельную) неопределенность, связанную с погрешностью самой модели.

Цель GP — построить суррогатную модель по обучающим точкам для общей нелинейной CFD-модели. Обучающие точки включают как входные, так и выходные данные модели, поэтому GP является методом машинного обучения с учителем. GP обладает рядом преимуществ. Помимо способности количественно оценивать эпистемическую неопределенность, GP хорошо работает с наборами данных малого и среднего размера и обеспечивает высокую точность для нелинейных функций.

Обозначим обучающий набор данных через ( {(x_i, y_i)} ), где ( i = 1, 2, \dots, N ), ( x \in \mathbb{R}^d ) и ( y \in \mathbb{R} ). Этот набор используется для обучения нелинейной модели вида:

[ \hat{y}(x) = h(x)^T \beta + \epsilon(x) \quad (5) ]

где ( h(x) ) — вектор базисных функций, ( \beta ) — вектор подлежащих определению коэффициентов, а ( \epsilon(x) \sim N(0, \sigma^2) ) — шумовой член, ( x ) — вектор входных переменных, ( \hat{y} ) — выход модели. Предполагается, что отклики (выходы) модели в различных точках имеют совместное нормальное распределение; или, иными словами, отклик ( \hat{y} ) следует Гауссовскому процессу:

[ \hat{y}(x) \sim GP(m(x), K(x, x')) \quad (6) ]

где ( m(x) ) и ( K(x, x') ) — это соответственно среднее значение и ковариация GP. Таким образом, GP-модель является вероятностной. Выполним линейное преобразование так, чтобы функция среднего стала нулевой. Априорное совместное распределение наблюдаемых откликов ( \mathbf{y} ) можно смоделировать как:

[ P(\mathbf{y} | X, \beta) \sim N(\mathbf{y} | H\beta, K + \sigma^2 I) \quad (7) ]

где ( I ) — единичная матрица размером ( N \times N ); ( f(X) \sim N(0, K(X, X) ) ) следует многомерному нормальному распределению. ( K(X, X) ) — симметричная ковариационная матрица, где ( X = [x_1^T, x_2^T, \dots, x_N^T]^T ). Таким образом, априорное распределение наблюдаемых значений ( \mathbf{y} ) и новых откликов в тестовых точках ( \mathbf{y}_* ) имеет вид:

[ \begin{bmatrix} \mathbf{y} \ \mathbf{y}* \end{bmatrix} \sim N \left( \mathbf{0}, \begin{bmatrix} K + \sigma^2 I & K^T \ K_ & K_{**} \end{bmatrix} \right) \quad (8) ]

Здесь ( K_{ij} = K(x_i, x_j) ) — симметричная ковариационная матрица откликов в обучающих точках; ( K_{**} ) — ковариационная матрица прогнозируемых откликов в тестовых точках; ( K_* = K_*^T ) — ковариационная матрица откликов в тестовых и обучающих точках. Выбор функции ковариационного ядра (kernel function) критически важен для точности прогнозов модели. Наиболее широко используемой является ядро в виде квадратичной экспоненты (squared exponential kernel, также RBF kernel). Распределение прогноза является условным распределением и задается формулой:

[ \mathbf{y}* | X, \mathbf{y}, X* \sim N(\mathbf{\mu}*, \Sigma*) \quad (9) ]

где ( \mathbf{\mu}* ) — среднее значение прогнозируемых откликов, а ( \Sigma* ) — дисперсия прогноза, которые определяются как:

[ \begin{aligned} \mathbf{\mu}* &= K^T [K + \sigma^2 I]^{-1} \mathbf{y} \ \Sigma_ &= K_{**} - K_^T [K + \sigma^2 I]^{-1} K_ \end{aligned} \quad (10) ]

( \Sigma_* ) дает не только стандартное отклонение отклика в тестовой точке, но и зависимость откликов между всеми тестовыми точками. Первое указывает на модельную или эпистемическую неопределенность. Чем выше стандартное отклонение прогнозируемого отклика, тем выше эпистемическая неопределенность.

---

4. Количественная оценка неопределенности

При использовании суррогатной модели CFD для прогнозирования мы сталкиваемся с двумя типами неопределенности: эпистемической и алеаторной [13]. Эпистемическая неопределенность — это модельная неопределенность суррогатной модели, как обсуждалось в разделе 3. Алеаторная неопределенность обусловлена внутренней случайностью во входных данных модели, такой как случайные нагрузки, свойства материалов и граничные условия. При использовании суррогатной модели для реальных приложений необходимо учитывать влияние обоих типов неопределенности. Они могут быть смоделированы с помощью случайных величин. Далее рассматривается, как прогнозировать распределение вероятностей выхода CFD на основе суррогатной модели, учитывая оба типа неопределенности.

Отклик от GP-суррогатной модели равен ( Y = \hat{y}(X) ), где ( X = (X_1, X_2, \dots, X_d)^T ) — независимые случайные величины ( X_i, i=1,2,\dots,d ), которые подчиняются определенным распределениям с функцией плотности вероятности ( f_{X_i}(\cdot) ). Входные переменные обладают алеаторной неопределенностью. Если входные переменные не являются независимыми, их можно преобразовать в независимые, до или после выполнения регрессии.

Условное распределение прогнозируемого ( Y ) при заданном ( X ) является нормальным распределением:

[ Y | X = \hat{y}(X) \sim N(\hat{\mu}(X), \hat{\sigma}^2(X)) \quad (11) ]

Это условное распределение вызвано эпистемической неопределенностью в суррогатной модели. Пусть ( f(X, Y) ) — совместная функция плотности вероятности (ФПВ) для ( X ) и ( Y ). С учетом обоих типов неопределенности среднее значение ( Y ) вычисляется как:

[ E[Y] = \int \hat{\mu}(X) f(X) dX = E_X[\hat{\mu}(X)] \quad (12) ]

где ( E[\cdot] ) обозначает математическое ожидание, а ( f(X) ) — совместная ФПВ для ( X ).

Дисперсия отклика равна:

[ Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = E_X[\hat{\sigma}^2(X)] + Var_X(\hat{\mu}(X)) \quad (13) ]

Первое и второе слагаемые в правой части уравнения указывают на вклад в общую неопределенность от модельной (эпистемической) неопределенности и от неопределенности данных (алеаторной) соответственно.

Далее рассмотрим, как оценить функцию кумулятивного распределения (ФКР) отклика. Не теряя общности, найдем следующую вероятность:

[ P_f = Pr(Y < 0) \quad (14) ]

Эта вероятность называется вероятностью отказа, если отказ происходит при выполнении условия ( Y < 0 ) [14]. Эта вероятность широко используется в проектировании на основе надежности [15]. Она также является значением ФКР в точке ( Y = 0 ):

[ \begin{aligned} P_f &= Pr(Y < 0) = \iint_{y < 0} f_{XY}(X, Y) dX dY \ &= \int \Phi\left( -\frac{\hat{\mu}(X)}{\hat{\sigma}(X)} \right) f(X) dX \end{aligned} \quad (15) ]

где ( f_{XY}(X, Y) ) — совместная ФПВ для ( X ) и ( Y ), а ( \Phi(\cdot) ) — ФКР стандартной нормальной случайной величины. Пусть:

[ g(X) = \Phi\left( -\frac{\hat{\mu}(X)}{\hat{\sigma}(X)} \right) \quad (16) ]

Тогда:

[ P_f = \int g(X) f(X) dX = E_X[g(X)] \quad (17) ]

( E_X(\cdot) ), ( Var_X(\cdot) ) и ( P_f ) — все это математические ожидания по ( X ). Существует два метода оценки математического ожидания: первый — метод Монте-Карло (MCS) [16-18], второй — разложение в ряд Тейлора в точке средних значений ( \mu_X = [\mu_{X_1}, \mu_{X_2}, \dots, \mu_{X_d}]^T ). Использование MCS является стандартным и прямолинейным. Кратко рассмотрим второй метод. Обозначим нелинейную функцию через ( h(X) ); ( h(X) ) может быть ( \hat{\mu}(X) ), ( \hat{\sigma}(X) ) или ( g(X) ):

[ h(X) \approx h(\mu_X) + \nabla h(\mu_X)(X - \mu_X) + \frac{1}{2}(X - \mu_X)^T H(\mu_X)(X - \mu_X) \quad (18) ]

где ( \nabla h(\cdot) ) и ( H(\cdot) ) — градиент и матрица Гессе функции ( h(\cdot) ) соответственно. Тогда:

[ E[h(X)] \approx h(\mu_X) + \frac{1}{2} tr(H(\mu_X) Cov_X) \quad (19) ]

где ( tr(\cdot) ) — след матрицы.

Поскольку компоненты ( X ) независимы:

[ E[h(X)] \approx h(\mu_X) + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^d \frac{\partial^2 h}{\partial X_i^2}(\mu_X) \sigma_{X_i}^2 \quad (20) ]

Если использовать разложение Тейлора первого порядка, то:

[ Var[h(X)] \approx \sum_{i=1}^d \left( \frac{\partial h}{\partial X_i}(\mu_X) \sigma_{X_i} \right)^2 \quad (21) ]

Вероятность отказа аппроксимируется выражением:

[ P_f = g(\mu_X) + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^d \frac{\partial^2 g}{\partial X_i^2}(\mu_X) \sigma_{X_i}^2 \quad (22) ]

Производные вычисляются методом конечных разностей.

---

5. Численные результаты

В данном разделе проводится сравнение прогнозов GP-суррогатной модели и CFD-симуляции для профиля скорости вдоль радиуса. Кроме того, выполняется количественная оценка неопределенности для течения Уомерсли, включающая как модельную, так и алеаторную неопределенность.

Подробная информация о входных переменных для обучения GP-моделей приведена в Таблице 2; наблюдаемые отклики (выходы) были получены с помощью нормированных аналитических решений (уравнения (2) и (4)).

Таблица 2. Распределения входных переменных

Течение	Переменная	Минимум	Максимум	Распределение	Количество точек
Гаген–Пуазейль	( u_{max} ) (м/с)	0.1	5.0	Равномерное	450
	( R ) (м)	0.0025	0.5	Единичное значение	1
Уомерсли	( \alpha )	1.0	2.0	Равномерное	10
	( P_o/P_s )	2.0	5.0	Равномерное	10
	( r' )	0.0	1.0	Равномерное	30
	( t' )	4.7414	10.2364	Равномерное	10

Результаты представлены на Рис. 2 для стационарного течения Гагена–Пуазейля и на Рис. 3 для нестационарного течения Уомерсли. Для стационарного течения как прогнозы GP, так и CFD-симуляция дают профили, практически совпадающие с аналитическими решениями. Для нестационарного течения Уомерсли были выбраны четыре характерных момента времени в течение одного периода колебаний: ( t' = [5.9625, 7.0964, 8.6664, 10.2364] ). На Рис. 3 видно, что все профили скорости, полученные с помощью GP в эти моменты времени, также идентичны аналитическим решениям, в то время как результаты CFD демонстрируют заметные отклонения от аналитики.

(Рис. 2 Сравнение профилей скорости течения Гагена–Пуазейля вдоль радиального направления) (Рис. 3 Сравнение профилей скорости течения Уомерсли вдоль радиального направления в четыре характерных момента времени в течение одного периода колебаний)

Для количественной оценки модельной неопределенности использовался метод Монте-Карло (MCS) с объемом выборки ( 10^6 ). Имеются две независимые случайные входные переменные ( X = [\alpha, P_o/P_s] ), которые подчиняются нормальному распределению. Их параметры распределения приведены в Таблице 3.

Таблица 3. Распределения случайных переменных

Переменная	Среднее	Стандартное отклонение	Распределение
( \alpha )	1.7441	0.0750	Нормальное
( P_o/P_s )	3.7523	0.1250	Нормальное

Прогнозы GP сравнивались с аналитическими решениями в момент времени 5.9625 с. Средние значения и стандартные отклонения приведены в Таблицах 4 и 5 соответственно. На Рис. 4 также показаны 95% доверительные интервалы. Данные таблиц и Рисунок 4 свидетельствуют о высокой точности GP-модели.

(Рис. 4 Прогнозы GP-модели и аналитические значения)

Вклад модельной и алеаторной неопределенности представлен в Таблице 6. Второй столбец показывает стандартные отклонения вклада алеаторной неопределенности в общую неопределенность (последний столбец). Это соответствует второму члену в правой части уравнения (13). Третий столбец показывает вклад модельной неопределенности, соответствующий первому члену в правой части уравнения (13). Неопределенность прогноза в основном обусловлена алеаторной неопределенностью данных, которая значительно превышает модельную неопределенность.

---

6. Заключение и перспективы

На примере стационарного течения Гагена–Пуазейля и нестационарного течения Уомерсли было продемонстрировано, что суррогатные модели обеспечивают гораздо более высокую скорость вычислений по сравнению с CFD, а по точности, соответственно, эквивалентны (течение Гагена–Пуазейля) или превосходят (течение Уомерсли) CFD-симуляции. Также было показано, что погрешность суррогатной модели может быть оценена посредством количественной оценки модельной неопределенности. При достаточном количестве обучающих точек прогноз суррогатной модели является точным и характеризуется малой модельной неопределенностью. Количественная оценка неопределенности также позволяет учитывать неопределенность во входных данных модели. Это помогает пользователям понять влияние неопределенностей на прогноз и увидеть вклад различных источников неопределенности, что способствует принятию более обоснованных решений. Дальнейшая работа будет направлена на количественную оценку неопределенности для более сложных CFD-моделей, не имеющих аналитических решений, с целью значительного сокращения времени вычислений. Планируется обучить суррогатные модели для более реалистичных стационарных и нестационарных течений и выполнить полномасштабный анализ количественной оценки неопределенности.

---

(Таблицы 4, 5 и 6 с числовыми данными сохранены в оригинале)

Таблица 4. Средние значения прогнозов GP и аналитического решения

( r )	Среднее (GP)	Среднее (Аналит.)	Ошибка	Относит. ошибка (%)
0	0.93743	0.94538	0.00794	0.8403
0.0345	0.93681	0.94475	0.00793	0.8394
0.0690	0.93496	0.94285	0.00789	0.8370
0.1034	0.93185	0.93968	0.00782	0.8329
0.1379	0.92747	0.93520	0.00773	0.8273
0.1724	0.92177	0.92939	0.00762	0.8201
0.2069	0.91472	0.92220	0.00748	0.8114
0.2414	0.90625	0.91357	0.00732	0.8012
0.2759	0.89629	0.90342	0.00713	0.7896
0.3103	0.88476	0.89168	0.00692	0.7766
0.3448	0.87156	0.87825	0.00669	0.7624
0.3793	0.85656	0.86301	0.00644	0.7469
0.4138	0.83964	0.84582	0.00617	0.7303
0.4483	0.82063	0.82652	0.00589	0.7127
0.4828	0.79936	0.80495	0.00558	0.6942
0.5172	0.77562	0.78089	0.00527	0.6748
0.5517	0.74918	0.75412	0.00493	0.6548
0.5862	0.71978	0.72438	0.00459	0.6340
0.6207	0.68714	0.69138	0.00423	0.6128
0.6552	0.65095	0.65482	0.00387	0.5912
0.6897	0.61084	0.61434	0.00349	0.5692
0.7241	0.56644	0.56956	0.00311	0.5470
0.7586	0.51734	0.52007	0.00272	0.5246
0.7931	0.46308	0.46541	0.00233	0.5021
0.8276	0.40317	0.40512	0.00194	0.4797
0.8621	0.33712	0.33867	0.00154	0.4573
0.8966	0.26436	0.26551	0.00115	0.4351
0.9310	0.18432	0.18509	0.00076	0.4128
0.9655	0.09641	0.09679	0.00037	0.3890

Таблица 5. Стандартные отклонения прогнозов GP и аналитического решения

( r )	Стандартное отклонение (GP)	Стандартное отклонение (Аналит.)	Ошибка	Относит. ошибка (%)
0	0.03585	0.03792	0.00794	5.4482
0.0345	0.03584	0.03792	0.00793	5.4805
0.0690	0.03580	0.03791	0.00789	5.5765
0.1034	0.03573	0.03791	0.00782	5.7326
0.1379	0.03564	0.03789	0.00773	5.9425
0.1724	0.03551	0.03786	0.00762	6.1980
0.2069	0.03535	0.03781	0.00748	6.4894
0.2414	0.03516	0.03772	0.00732	6.8060
0.2759	0.03491	0.03760	0.00713	7.1371
0.3103	0.03462	0.03742	0.00692	7.4719
0.3448	0.03427	0.03717	0.00669	7.8007
0.3793	0.03385	0.03684	0.00644	8.1145
0.4138	0.03335	0.03641	0.00617	8.4058
0.4483	0.03275	0.03586	0.00589	8.6683
0.4828	0.03206	0.03519	0.00558	8.8968
0.5172	0.03124	0.03436	0.00527	9.0868
0.5517	0.03029	0.03337	0.00493	9.2347
0.5862	0.02920	0.03220	0.00459	9.3362
0.6207	0.02795	0.03084	0.00423	9.3864
0.6552	0.02653	0.02928	0.00387	9.3782
0.6897	0.02494	0.02749	0.00349	9.3007
0.7241	0.02316	0.02549	0.00311	9.1362
0.7586	0.02119	0.02325	0.00272	8.8547
0.7931	0.01902	0.02076	0.00233	8.4016
0.8276	0.01664	0.01803	0.00194	7.6686
0.8621	0.01406	0.01503	0.00154	6.4096
0.8966	0.01128	0.01175	0.00115	3.9488
0.9310	0.00835	0.00817	0.00076	2.2266
0.9655	0.00549	0.00426	0.00037	28.735

Таблица 6. Вклад в общую неопределенность от модельной и алеаторной неопределенностей

( r )	Стандартное отклонение от алеаторн. неопр.	Стандартное отклонение от модел. неопр.	Стандартное отклонение прогноза
0	0.03564	0.00388	0.03585
0.0345	0.03563	0.00388	0.03584
0.0690	0.03559	0.00388	0.03580
0.1034	0.03552	0.00388	0.03573
0.1379	0.03543	0.00388	0.03564
0.1724	0.03530	0.00388	0.03551
0.2069	0.03514	0.00388	0.03535
0.2414	0.03494	0.00388	0.03516
0.2759	0.03470	0.00388	0.03491
0.3103	0.03440	0.00388	0.03462
0.3448	0.03405	0.00388	0.03427
0.3793	0.03362	0.00388	0.03385
0.4138	0.03312	0.00388	0.03335
0.4483	0.03252	0.00388	0.03275
0.4828	0.03182	0.00388	0.03206
0.5172	0.03100	0.00388	0.03124
0.5517	0.03004	0.00388	0.03029
0.5862	0.02894	0.00388	0.02920
0.6207	0.02768	0.00388	0.02795
0.6552	0.02624	0.00388	0.02653
0.6897	0.02463	0.00388	0.02494
0.7241	0.02283	0.00388	0.02316
0.7586	0.02083	0.00388	0.02119
0.7931	0.01862	0.00388	0.01902
0.8276	0.01618	0.00388	0.01664
0.8621	0.01351	0.00388	0.01406
0.8966	0.01059	0.00388	0.01128
0.9310	0.00739	0.00388	0.00835
0.9655	0.00388	0.00388	0.00549

---

Благодарности

Исследование выполнено при поддержке Национального научного фонда США (грант CBET 1803845). В работе использовалась вычислительная инфраструктура Extreme Science and Engineering Discovery Environment (XSEDE), поддерживаемая Национальным научным фондом США (грант № ACI-1548562).

Литература

[1] B. A. Craven, K. I. Aycock, L. H. Herbertson, a nd R. A. Malinauskas, "A CFD-based Kriging surrogate modeling approach for predicting device-s pecific hemolysis power law coefficients in blood-contacting medical devices," Biomechanics and Modeling in Mechanobiology, vol. 18, no. 4, pp. 1005-1030, 2019/08/01 2019, doi: 10.1007/s10237-019-01126-4. [2] Z. Qian, C. C. Seepersad, V. R. Joseph, J. K. Allen, and C. F. Jeff Wu, "Building Surrogate Models Based on Detailed and Approximate Simulations," Journal of Mechanical Design, vol. 128, no. 4, pp. 668-677, 2005, doi: 10.1115/1.2179459. [3] Y. Morita, S. Rezaeiravesh, N. Tabatabaei, R. V inuesa, K. Fukagata, and P. Schlatter, "Applying Bayesian optimization with Gaussian process regress ion to computational fluid dynamics problems," Journal of Computational Physics, vol. 449, p. 110788, 2022. [4] P. J. Roache, "Quantification of uncertainty in computational fluid dynamics," Annual review of fluid Mechanics, vol. 29, no. 1, pp. 123-160, 1997. [5] W. L. Oberkampf and T. G. Trucano, "Verificatio n and validation in computational fluid dynamics," Progress in aerospace sciences, vol. 38, no. 3, pp. 209-272, 2002. [6] H. Yu et al., "Inlet and Outlet Boundary Conditions and Uncertainty Quantification in Volumetric Lattice Boltzmann Method for Image-Based Computational Hemodynamics," Fluids, vol. 7, no. 1, p. 30, 2022. [7] H. Yu et al., "A new noninvasive and patient-specific hemodynamic index for assessing the severity of renal arterial stenosis," International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, vol. e3611, no. PMID: 35509229, pp. 1-42, 2022. [8] H. Yu et al., "Mass-conserved volumetric lattice Boltzmann meth od for complex flows with willfully moving boundaries," Physical Review E, vol. 89, no. 6, p. 063304, 2014. [9] X. Zhang et al., "Volumetric lattice Boltzmann method for wall str esses of image-based pulsatile flows," Scientific Reports, vol. 12, no. 1, pp. 1-15, 2022. [10] H. Li, J. Yin, and X. Du, "Label Free Uncertainty Quantification," in AIAA SCITECH 2022 Forum, (AIAA SciTech Forum: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2021. [11] G. Calzolari and W. Liu, "Deep learning to rep lace, improve, or aid CFD analysis in built environment applications: A review," Building and Environment, vol. 206, p. 108315, 2021. [12] H. Wu, Z. Zhu, and X. Du, "System Reliability Analysis With Autocorrelated Kriging Predictions," Journal of Mechanical Design, vol. 142, no. 10, 2020, doi: 10.1115/1.4046648. [13] J. Yin and X. Du, "Uncertainty Quantification by Convolutional Neural Network Gaussian Process Regression with Image and Numerical Data," in AIAA SCITECH 2022 Forum, 2022, p. 1100. [14] J. Yin and X. Du, "High-Dimensional Reliabilit y Method Accounting for Important and Unimportant Input Variables," Journal of Mechanical Design, vol. 144, no. 4, 2021, doi: 10.1115/1.4051982. [15] Z. Hu and X. Du, "Efficient reliability-based design with second order approximations," Engineering Optimization, vol. 51, no. 1, pp. 101-119, 2019/01/02 2019, doi: 10.1080/0305215X.2018.1440292. [16] L. Meng, X. Du, B. McWilliams, and J. Zhang, "Probabilistic Feasibility Design of a Laser Powder Bed Fusion Process Using Integrated First-Order Reli ability and Monte Carlo Methods," Journal of Manufacturing Science and Engineering, vol. 143, no. 9, 2021, doi: 10.1115/1.4050544. [17] H. Li and X. Du, "A Bayesian Approach to Recov ering Missing Component Dependence for System Reliability Prediction via Synergy Between P hysics and Data," in International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, 2021, vol. 85390: American Society of Mechanical Engineers, p. V03BT03A009. [18] H. Li and X. Du, "Recovering Missing Component Dependence for System Reliability Prediction via Synergy Between Physics and Data," Journal of Mechanical Design, vol. 144, no. 4, 2022.

---

Источник

Источник

Теги

• #CFD
• #MachineLearning
• #SurrogateModeling
• #Hydrodynamics

Источник: https://engineering.purdue.edu/YuLab/research/products/PublishedPapers/2022ICCFD11-3301.pdf

#CFD #MachineLearning #SurrogateModeling #Hydrodynamics